새로운 형태 ‘타일’이 나왔다...수학사에 남을 ‘15번째 오각형’ 발견

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업데이트 2015-08-18 14:01

입력 2015-08-18 10:53

바닥면에 겹치거나 빈 틈이 없도록 타일을 붙일 수 있는 새로운 오각형이 3명의 수학자들에 의해 발견되었다. 30년 만에 이루어진 이 새로운 오각형의 발견은 수학사의 한 쪽을 장식할 ‘사건’으로 평가받고 있다. 그림=케이시 맨

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욕실 등에 타일을 시공하는 타일공들이 들으면 반가워할 소식이 수학계로부터 나왔다.

바닥면에 겹치거나 빈 틈이 없도록 타일을 붙일 수 있는 새로운 오각형이 3명의 수학자들에 의해 발견되었다. 수학사의 한 쪽을 장식할 '사건'으로 평가받고 있는 이 발견의 주인공들은 미국 워싱턴 대학의 수학자들로, 학부생이 만든 컴퓨터 프로그램을 이용해 이 큰 발견을 이끌어낸 것이다.

이 발견이 있기 전까지 평면을 덮을 수 있는 오각형 종류는 14개가 발견된 상태였다. 마지막 종류는 1985년에야 발견되었는데, 평면을 덮을 수 있는 오각형의 종류가 더 있는지는 아직 아무도 모른다.

참고로 여기서 말하는 오각형은 볼록오각형, 그러니까 모든 꼭지점이 밖으로 튀어나온 오각형에만 국한해서 하는 이야기다. 오각형의 종류는 둔각오각형,예각오각형,3등변오각형,2등변오각형,마름오각형,정오각형 등등이 있다.

이번에 15번째로 발견된 오각형은 부등변오각형으로, 5개의 변 중 두 개가 같을 뿐이다. 이 발견은 물리학에서 새로운 소립자를 발견한 것과 비슷한 것으로 수학계에 받아들여지고 있다고 연구진은 말한다.

평면을 빈틈없이 덮을 수 있는 15종의 오각형. 이 발견이 있기 전까지 평면을 덮을 수 있는 오각형 종류를 14개가 발견된 상태였다. 마지막 종류는 1985년에야 발견되었는데, 평면을 덮을 수 있는 오각형의 종류가 더 있는지는 아직 아무도 모른다. 당신도 한번 도전해보기 바란다. 그림=위키페디아

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5번째로 발견된 새로운 오각형. 지난 한 세기 동안 평면을 메꿀 수 있는 새로운 오각형을 찾아내는 일은 수학자들에게 하나의 도전 과제였지만, 성공한 사람은 극히 드물었다. 그림=케이시 맨

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15번째의 오각형을 발견한 수학자는 워싱턴 대학 수학 조교수 케이시 맨과 그의 부인 제니퍼 맥루드-맨 그리고 학부생 연구원인 데이비드 폰 데라우이다.

이번의 발견은 생화학과 구조설계 등 많은 부문에서 실제로 활용될 수 있을 것으로 보인다. "여러 가지 결정이나 바이러스 등, 자연에서 볼 수 있는 많은 구조들은 기하학과 역학적으로 연관된 블록들이 합체되어 이루어진 구조물이라 할 수 있다" 고 언론에 설명한 맨 조교수는 "이번에 발견된 오각형은 여러 분야에서 활용될 수 있을 뿐만 아니라, 타일 시공업계에도 새바람을 불러일으킬 것으로 예상된다" 고 덧붙였다.

이 새로운 타일은 어떤 형태가 2차원 평면을 메꿀 수 있는가 하는 문제에 대한 완전한 이해에 한발짝 더 다가갔다는 것을 뜻한다.

삼각형이나 볼록사각형은 그 형태나 크기에 상관없이 바닥을 빈틈없이 메꿀 수 있는 것과는 대조적으로, 오각형 이상의 볼록 다각형들은 특수한 경우를 제외하고는 평면을 메꿀 수 없다는 것이 증명되었다.

지난 한 세기 동안 평면을 메꿀 수 있는 새로운 오각형을 찾아내는 일은 수학자들에게 하나의 도전 과제였지만, 성공한 사람은 극히 드물었다.

카를 라인하르트라는 독일의 수학자는 1918년에 5종류의 새로운 오각형을 발견했다. 1968년에는 R. B. 커슈너가 세 종류를 더 찾았으며, 1975년에는 리처드 제임스가 한 종류를 더 찾았다. 그리고 같은 해에 놀랍게도 미국 샌디에고의 한 아마추어 수학자가 역시 5개의 오각형을 발견했다. 놀랍게도 그는 전문 수학자가 아닌 주부로서, 제임스의 발견에 대한 기사를 읽고 독자적인 방법으로 다섯 종류를 더 찾아낸 것이다. 라이스의 성과는 전문 수학자의 검토를 받고 출판되었다.

그리고 이번의 15번째 새 오각형은 30년 만에 찾아낸 것이다. 맨과 맥루드-맨은 2년 전 워싱턴 대학에 온 이후부터 바닥덮기와 매듭이론(tiling and knot theory)을 이용해 새 오각형 발견 작업에 매달렸다.

오랜 동안 소득 없이 진행되던 작업에 서광이 비치기 시작한 것은 지난달이었다. 폰 데라우의 컴퓨터 시스템이 대단히 흥미로운 가능성을 생산해냈고, 그는 이것을 연구원들에게 보냈다.

마침내 그들이 새로운 오각형을 하나 찾아냈을 때 그들은 오랜 수학 퍼즐 문제 하나를 풀어냈다는 것을 깨달았다. "이것 외에도 새로운 오각형이 더 있을까 하는 문제에 대해 매우 조심스럽다. 하지만 더이상 없다는 증거는 아직 발견하지 못한만큼 새 오각형을 더 발견할 수 있을 거라는 희망을 가지고 있다" 고 맨 조교수는 가디언 지에 밝혔다.

이광식 통신원 joand999@naver.com